导入：
$\displaystyle 1. 已知 \lim_{n \to \infty }a_n \sum_{i=1}^na_i^2=1, 求证 \lim_{n \to \infty }\sqrt[3]{3n}a_n =1 .$
$\displaystyle \text{解: 设 } S_n= \sum_{i=1}^na_i^2$
$\displaystyle \text{则题设即为 } \lim_{n \to \infty }a_n S_n=1$
$\displaystyle \text{要想证 } \lim_{n \to \infty} \sqrt{3n}a_n=1$
$\displaystyle \text{只需证 } \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{3n}a_n}=1$
$\displaystyle \Longleftarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3na_n^3}=1$
$\displaystyle \text{而 } \lim_{n \to \infty} (a_nS_n)^3=1, \text{ 则只需证 } \lim_{n \to \infty} \frac{S_n^3}{3n}=1$
$\displaystyle \text{而 } \lim_{n \to \infty}S_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty, \text{那么只需证 } \lim_{n \to \infty} (S_n^3-S_{n-1}^3)=3$
$\displaystyle \Longleftarrow \lim_{n \to \infty}a_n^2(S_n^2+S_nS_{n-1}+S_{n-1}^2)=3$
$\displaystyle \Longleftarrow \lim_{n \to \infty}a_n^2S_n^2+\lim_{n \to \infty}a_n^2S_nS_{n-1}+\lim_{n \to \infty}a_n^2S_{n-1}^2=3$
$\displaystyle \text{由题设这是显然的，因此证毕.}$
感觉这道题主要是不会 $\operatorname{Stolz} $ 定理所以做不出来，但是似乎会了也做不出来。
必要性探路法还是得精进一下理解。
$\displaystyle1.1 ;(\operatorname{Stolz} 定理) 已知 {y_n} 严格单调递增,\lim_{n \to \infty}y_n=\infty,\lim_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}存在$
$\displaystyle 则\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n}=\lim_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}.$